Teorema de Pitágoras: Uma prova algébrica
O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos da matemática por todo o mundo, principalmente, devido à sua aplicação em situações da vida real. Este teorema já era utilizado bem antes de Pitágoras ( 570 – 495 a.C. ), porém, ficou eternizado como sendo deste último. O enunciado do Teorema de Pitágoras é o seguinte: Teorema de Pitágoras : "O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos". Triângulo ABC, retângulo em C. Demonstração : Seja $\Delta ABC$ retângulo em C, o seu semiperímetro é $p=\frac{a+b+c}{2}$, utilizando a fórmula de Heron (ou Herão) para expressar a área do triângulo. Fórmula de Heron: $\begin{eqnarray} A_{\Delta ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{eqnarray}.$ Área do triângulo também é expresso por $\begin{eqnarray} A_{\Delta ABC}=\frac{ab}{2} \end{eqnarray}.$ Então, temos $\begin{eqnarray} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{ab}{2}\\ \sqrt{\left( \frac{a+b+c}{2}\right)\left( \frac{a+b-c}{2}\right)\left( \frac{c+(b-a)}