Professor Patrício Souza

O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos da matemática por todo o mundo, principalmente, devido à sua aplicação em situações da vida real. Este teorema já era utilizado bem antes de Pitágoras ( 570 –   495 a.C. ), porém, ficou eternizado como sendo deste último. O enunciado do Teorema de Pitágoras é o seguinte: Teorema de Pitágoras : "O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos". Triângulo ABC, retângulo em C. Demonstração : Seja $\Delta ABC$ retângulo em C, o seu semiperímetro é $p=\frac{a+b+c}{2}$, utilizando a fórmula de Heron (ou Herão) para expressar a área do triângulo. Fórmula de Heron: $\begin{eqnarray} A_{\Delta ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{eqnarray}.$ Área do triângulo também é expresso por $\begin{eqnarray} A_{\Delta ABC}=\frac{ab}{2} \end{eqnarray}.$ Então, temos $\begin{eqnarray} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{ab}{2}\\ \sqrt{\left( \frac{a+b+c}{2}\right)\left( \frac{a+b-c}{2}\right)\left( \frac{c+(b-a)}...

A sequência ($A_1$, $A_2$, $A_3$, ..., $A_n$, ...) é uma progressão aritmética de termos positivos com razão r não nula. Se o somatório S é dado por $$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}}}}}$$ então S é representado por A) $\dfrac{n^2}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$ B) $\dfrac{n}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$ C) $\dfrac{n-1}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$ D) $\dfrac{n+1}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$ Solução : Primeiro devemos lembrar que $A_1$, $A_2$, $A_3$, ..., $A_n$ formam uma P.A. (Progressão Aritmética) de razão $r$, então, temos: $$A_2=A_1+r, ..., A_{n+1}=A_n+r,$$ ou ainda, $$A_{n+1}=A_1+nr.$$ Segundo passo, é fazer uma racionalização de denominadores : $$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}}}=\frac{1\cdot (\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}})}{(\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}})(\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}})}=\frac{\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}}}{A_i-A_{i+1}}=\frac{\sqrt{A_{i+1}}-\sqrt{A_{i}}}{A_{i+1}-A_i}=\frac{\sqrt{A_{i+1}}-\sqrt{A_{i}}}{r}}.$$ Então, $...