Professor Patrício Souza

Seja o quadrado ABCD de área igual a 1 unidade de área ( 1 u.a.), e os pontos E, F e G sobre os lados AD, DC e AB, respectivamente, conforme a figura abaixo. Considere a área do pentágono interior igual a $\frac{1}{15}$. O valor da área hachurada, em u.a., é igual a: a) $\frac{11}{30}$   b) $\frac{13}{30}$  c) $\frac{7}{15}$  d) $\frac{1}{2}$  e) $\frac{8}{15}$

A sequência ($A_1$, $A_2$, $A_3$, ..., $A_n$, ...) é uma progressão aritmética de termos positivos com razão r não nula. Se o somatório S é dado por $$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}}}}}$$ então S é representado por A) $\dfrac{n^2}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$ B) $\dfrac{n}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$ C) $\dfrac{n-1}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$ D) $\dfrac{n+1}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$ Solução : Primeiro devemos lembrar que $A_1$, $A_2$, $A_3$, ..., $A_n$ formam uma P.A. (Progressão Aritmética) de razão $r$, então, temos: $$A_2=A_1+r, ..., A_{n+1}=A_n+r,$$ ou ainda, $$A_{n+1}=A_1+nr.$$ Segundo passo, é fazer uma racionalização de denominadores : $$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}}}=\frac{1\cdot (\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}})}{(\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}})(\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}})}=\frac{\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}}}{A_i-A_{i+1}}=\frac{\sqrt{A_{i+1}}-\sqrt{A_{i}}}{A_{i+1}-A_i}=\frac{\sqrt{A_{i+1}}-\sqrt{A_{i}}}{r}}.$$ Então, $...