(FUNCERN/Concurso Professor Efetivo IFRN/2015)

A sequência ($A_1$, $A_2$, $A_3$, ..., $A_n$, ...) é uma progressão aritmética de termos positivos com razão r não nula. Se o somatório S é dado por
$$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}}}}}$$
então S é representado por
A) $\dfrac{n^2}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$

B) $\dfrac{n}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$

C) $\dfrac{n-1}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$

D) $\dfrac{n+1}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$

Solução: Primeiro devemos lembrar que $A_1$, $A_2$, $A_3$, ..., $A_n$ formam uma P.A. (Progressão Aritmética) de razão $r$, então, temos:
$$A_2=A_1+r, ..., A_{n+1}=A_n+r,$$
ou ainda,
$$A_{n+1}=A_1+nr.$$

Segundo passo, é fazer uma racionalização de denominadores:
$$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}}}=\frac{1\cdot (\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}})}{(\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}})(\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}})}=\frac{\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}}}{A_i-A_{i+1}}=\frac{\sqrt{A_{i+1}}-\sqrt{A_{i}}}{A_{i+1}-A_i}=\frac{\sqrt{A_{i+1}}-\sqrt{A_{i}}}{r}}.$$
Então,
$$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}}}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{\sqrt{A_{i+1}}-\sqrt{A_i}}{r}}}=\frac{\sqrt{A_{n+1}}-\sqrt{A_{1}}}{r}=\frac{(\sqrt{A_{n+1}}-\sqrt{A_{1}})(\sqrt{A_{n+1}}+\sqrt{A_{1}})}{r(\sqrt{A_{n+1}}+\sqrt{A_{1}})}=\frac{A_{n+1}-A_1}{r(\sqrt{A_{n+1}}+\sqrt{A_{1}})}=\frac{n}{\sqrt{A_{1}}+\sqrt{A_{n+1}}}}.$$
Opção B.