Uma porta para a trigonometria

O proprietário de uma residência instalou, em uma das portas da casa, um alarme formado por dois sensores localizados nos pontos A e B, conforme mostra a figura abaixo. 

Percebeu-se que o alarme dispara quando a porta aberta forma um ângulo de 30 graus com o batente. Supondo que a porta tem 2 metros de altura e 1 metro de largura, qual a distância entre os sensores que faz o alarme disparar?

Retirado de http://clubes.obmep.org.br/blog/2016/04/uma-porta-para-a-trigonometria/

SOLUÇÃO: Note que a largura da porta é igual à distância entre os batentes, 1 m. Assim, podemos unir com um segmento de reta o ponto A à extremidade superior da porta (X), formando um triângulo isósceles (dois lados, consequentemente, dois ângulos iguais). 

Visto que a soma dos Ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°, então, determinamos os ângulos da base ($\theta$) que são iguais:

$$30°+\theta + \theta = 180° \Rightarrow 2\theta = 150° \rightarrow \theta = 75°\Rightarrow \overline{AX}=\frac{sen(30°)}{sen(75°)}.$$

Para determinarmos a distância de A a X, $\overline{AX}$, aplicamos a Lei dos Senos: $$\frac{1}{sen(75°)}=\frac{\overline{AX}}{sen(30°)},$$ obtendo o $sen(75°)$ pela soma de arcos, temos: 
$$sen(75°)=sen(30°+45°)=sen(30°)\cdot cos(45°)+sen(45°)\cdot cos(30°)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.$$
Então $\overline{AX}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}=\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$ A distância entre os sensores A e B, $\overline{AB}$, encontramos aplicando o Teorema de Pitágoras:
$$(\overline{AB})^2=2^2+(\overline{AX})^2=4+\left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^2=6-\sqrt{3}\Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{6-\sqrt{3}} \, m.$$