Questão 8 (NÍVEL 3) - OBMEP/2016

Na figura, os pontos C e F pertencem aos lados BD e AE do quadrilátero ABDE, respectivamente. Os ângulos B e E são retos e os segmentos AB, CD, DE e FA têm suas medidas indicadas na figura. Qual é a área do quadrilátero ACDF?

A) 16

B) 21

C) 31

D) 33

E) 40

 

Solução: Tracemos um segmento de reta AD, dividindo o quadrilátero ACDF em dois triângulos, $\Delta ACD$ e $\Delta ADF$. Então a área do quadrilátero ACDF ($A_{ACDF}$) é a soma das áreas dos triângulos $\Delta ACD$ e $\Delta ADF$, ou seja, $A_{ACDF}=A_{\Delta ACD}+A_{\Delta ADF}$.
 Fazendo a área do triângulo ABD menos a área do triângulo ABC, considerando a medida do BC igual a x, temos a área do triângulo ACD:

$$A_{\Delta ACD}=\dfrac{10(x+2)}{2}-\dfrac{10x}{2}=10.$$


Analogamente, tomamos a medida EF igual a y. Calculamos a área do triângulo ADF, subtraímos a área do triângulo DEF do triângulo ADE. Assim,
$$A_{\Delta ADE}=\dfrac{7(y+6)}{2}-\dfrac{7y}{2}=21.$$
Portanto a área do quadrilátero ACDF é 31, opção C.