CPACN/2022 -Questão 6 - Prova amarela
Seja o quadrado ABCD de área igual a 1 unidade de área ( 1 u.a.), e os pontos E, F e G sobre os lados AD, DC e AB, respectivamente, conforme a figura abaixo.
Considere a área do pentágono interior igual a . O valor da área hachurada, em u.a., é igual a:
a) $\frac{11}{30}$
b) $\frac{13}{30}$
c) $\frac{7}{15}$
d) $\frac{1}{2}$
e) $\frac{8}{15}$
Solução: Primeiro passo é denominar os pontos de interseções entre os segmentos de retas e denominar as áreas hachuradas por incógnitas (x, y, z, t e w). Conforme a figura abaixo:
Assim, denominamos as áreas dos triângulos FGK, DKL, GHI, IJE e JLC, respectivamente, por x, y, z, t e w, áreas hachuradas. Note que , pois, são triângulo de bases e alturas iguais. Em consequência disso, temos
A área do triângulo DHC é metade da área do quadrado, então, . Veja que
$\frac{1}{2} = z + \frac{1}{15} + w+y +A(DLC) $
$\frac{1}{2} = z + \frac{1}{15} + w+y +x+\frac{1}{15}+t $
$\frac{1}{2} = z + \frac{1}{15} + w + y + x + \frac{1}{15} + t$
$ x+y+z+t+w = \frac{1}{2} - \frac{2}{15}=\frac{11}{30}. $
Logo, opção a).
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