CPACN/2022 -Questão 6 - Prova amarela

Seja o quadrado ABCD de área igual a 1 unidade de área ( 1 u.a.), e os pontos E, F e G sobre os lados AD, DC e AB, respectivamente, conforme a figura abaixo.

Considere a área do pentágono interior igual a $\frac{1}{15}$. O valor da área hachurada, em u.a., é igual a:

a) $\frac{11}{30}$  

b) $\frac{13}{30}$ 

c) $\frac{7}{15}$ 

d) $\frac{1}{2}$ 

e) $\frac{8}{15}$

Solução: Primeiro passo é denominar os pontos de interseções entre os segmentos de retas e denominar as áreas hachuradas por incógnitas (x, y, z, t e w). Conforme a figura abaixo:

Assim, denominamos as áreas dos triângulos FGK, DKL, GHI, IJE e JLC, respectivamente, por x, y, z, t e w, áreas hachuradas. Note que $A(FDE) = A(FDC)$, pois, são triângulo de bases e alturas iguais. Em consequência disso, temos

$A(FDK)+A(FGK)+A(DKL)+A(GKLJI)+A(IJE)=A(FDK)+A(DKL)+A(DLC)$

$\Rightarrow A(DLC)=A(FGK) + \frac{1}{15} + A(IJE)$

$\Rightarrow A(DLC) = x + \frac{1}{15} + t$

A área do triângulo DHC é metade da área do quadrado, então, $A(DHC)=\frac{1}{2}$. Veja que 

$ A(DHC) =A(GHI) +A(GKLJI) + A(JLC)+A(DKL)+A(DLC) $

$\frac{1}{2} = z + \frac{1}{15} + w+y +A(DLC) $

$\frac{1}{2} = z + \frac{1}{15} + w+y +x+\frac{1}{15}+t $

$\frac{1}{2} = z + \frac{1}{15} + w + y + x + \frac{1}{15} + t$

$ x+y+z+t+w = \frac{1}{2} - \frac{2}{15}=\frac{11}{30}. $

Logo, opção a).