Teorema de Pitágoras: Uma prova algébrica

O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos da matemática por todo o mundo, principalmente, devido à sua aplicação em situações da vida real. Este teorema já era utilizado bem antes de Pitágoras (570 – 495 a.C.), porém, ficou eternizado como sendo deste último. O enunciado do Teorema de Pitágoras é o seguinte:

Teorema de Pitágoras: "O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos".

Triângulo ABC, retângulo em C.

Demonstração: Seja $\Delta ABC$ retângulo em C, o seu semiperímetro é $p=\frac{a+b+c}{2}$, utilizando a fórmula de Heron (ou Herão) para expressar a área do triângulo.

Fórmula de Heron:

$\begin{eqnarray} A_{\Delta ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{eqnarray}.$

Área do triângulo também é expresso por $\begin{eqnarray} A_{\Delta ABC}=\frac{ab}{2} \end{eqnarray}.$ Então, temos

$\begin{eqnarray} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{ab}{2}\\ \sqrt{\left( \frac{a+b+c}{2}\right)\left( \frac{a+b-c}{2}\right)\left( \frac{c+(b-a)}{2}\right)\left( \frac{c-(b-a)}{2}\right)}=\frac{ab}{2}\\
\frac{1}{4}\sqrt{\left[(a+b)^2-c^2 \right]\cdot \left[c^2-(b-a)^2\right]}=\frac{ab}{2}\\
2a^2c^2-2a^2b^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4=0\\
\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4c^2\left(a^2+b^2\right) \Rightarrow a^2+b^2+c^2=2c\sqrt{a^2+b^2}
\end{eqnarray}$

Fazendo $\lambda = \sqrt{a^2+b^2}$, temos:

$\begin{eqnarray} \lambda^2-2c\lambda+c^2=0\\ (\lambda - c)^2=0 \Rightarrow \lambda = c\end{eqnarray}.$

Logo, $c = \sqrt{a^2+b^2}$ ou $c^2=a^2+b^2$.

Vale pensar como os antigos chegaram a esta conclusão, lembrando que a linguagem algébrica de outrora era praticamente inexistente, eles usavam desenhos e descreviam por extenso todas as demonstrações, nem também existia o  símbolo de radical para expressar raízes como utilizamos hoje.