Somatório dos quadrados.

 


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QUESTÃO 17 - NÍVEL 3 - OBMEP/2005

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O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura. Se o topo da escada escorregar 4 m para baixo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada? (A) 4 m (B) 8 m (C) 9 m (D) 13 m (E) 15 m Solução : Inicialmente, temos um triângulo retângulo ABC com catetos medindo 7m e $h_0$ m, a hipotenusa (comprimento da escada) é constante, 25 m. $$7^2+h_{0}^2=25^2 \Rightarrow h_0=24.$$ Se o topo da escada escorregar 4 m, então a altura do novo triângulo ($\Delta A'B'C'$) retângulo será 20 m, enquanto que a distância do pé da escada à parede perpendicular do edifício será $(7+x)$m e a hipotenusa, 25 m. $$20^2+(7+x)^2=25^2 \Rightarrow (7+x)^2=225 \Rightarrow  7+x=15 \Rightarrow  x=8 \;m.$$ Logo, o deslocamento do pé da escada é de 8 m, opção B.
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Questão 8 (NÍVEL 3) - OBMEP/2016

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Na figura, os pontos C e F pertencem aos lados BD e AE do quadrilátero ABDE, respectivamente. Os ângulos B e E são retos e os segmentos AB, CD, DE e FA têm suas medidas indicadas na figura. Qual é a área do quadrilátero ACDF? A) 16 B) 21 C) 31 D) 33 E) 40   Solução : Tracemos um segmento de reta AD, dividindo o quadrilátero ACDF em dois triângulos, $\Delta ACD$ e $\Delta ADF$. Então a área do quadrilátero ACDF ($A_{ACDF}$) é a soma das áreas dos triângulos $\Delta ACD$ e $\Delta ADF$, ou seja, $A_{ACDF}=A_{\Delta ACD}+A_{\Delta ADF}$.  Fazendo a área do triângulo ABD menos a área do triângulo ABC, considerando a medida do BC igual a x, temos a área do triângulo ACD: $$A_{\Delta ACD}=\dfrac{10(x+2)}{2}-\dfrac{10x}{2}=10.$$ Analogamente, tomamos a medida EF igual a y. Calculamos a área do triângulo ADF, subtraímos a área do triângulo DEF do triângulo ADE. Assim, $$A_{\Delta ADE}=\dfrac{7(y+6)}{2}-\dfrac{7y}{2}=21.$$ Portanto a área do quadrilátero ACDF é 31,
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Uma porta para a trigonometria

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O proprietário de uma residência instalou, em uma das portas da casa, um alarme formado por dois sensores localizados nos pontos A e B, conforme mostra a figura abaixo.  Percebeu-se que o alarme dispara quando a porta aberta forma um ângulo de 30 graus com o batente. Supondo que a porta tem 2 metros de altura e 1 metro de largura, qual a distância entre os sensores que faz o alarme disparar? Retirado de  http://clubes.obmep.org.br/blog/2016/04/uma-porta-para-a-trigonometria/ SOLUÇÃO: Note que a largura da porta é igual à distância entre os batentes, 1 m. Assim, podemos unir com um segmento de reta o ponto A à extremidade superior da porta (X), formando um triângulo isósceles (dois lados, consequentemente, dois ângulos iguais).  Visto que a soma dos Ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°, então, determinamos os ângulos da base ($\theta$) que são iguais: $$30°+\theta + \theta = 180° \Rightarrow 2\theta = 150° \rightarrow \theta = 75°\Rightarrow \
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