Professor Patrício Souza

Seja o quadrado ABCD de área igual a 1 unidade de área ( 1 u.a.), e os pontos E, F e G sobre os lados AD, DC e AB, respectivamente, conforme a figura abaixo. Considere a área do pentágono interior igual a $\frac{1}{15}$. O valor da área hachurada, em u.a., é igual a: a) $ \frac{11}{30}$   b) $ \frac{13}{30}$  c) $ \frac{7}{15}$  d) $ \frac{1}{2}$  e) $ \frac{8}{15}$

O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos da matemática por todo o mundo, principalmente, devido à sua aplicação em situações da vida real. Este teorema já era utilizado bem antes de Pitágoras ( 570 –   495 a.C. ), porém, ficou eternizado como sendo deste último. O enunciado do Teorema de Pitágoras é o seguinte: Teorema de Pitágoras : "O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos". Triângulo ABC, retângulo em C. Demonstração : Seja $\Delta ABC$ retângulo em C, o seu semiperímetro é $p=\frac{a+b+c}{2}$, utilizando a fórmula de Heron (ou Herão) para expressar a área do triângulo. Fórmula de Heron: $\begin{eqnarray} A_{\Delta ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{eqnarray}.$ Área do triângulo também é expresso por $\begin{eqnarray} A_{\Delta ABC}=\frac{ab}{2} \end{eqnarray}.$ Então, temos $\begin{eqnarray} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{ab}{2}\\ \sqrt{\left( \frac{a+b+c}{2}\right)\left( \frac{a+b-c}{2}\right)\left( \frac{c+(b-a)}

A sequência ($A_1$, $A_2$, $A_3$, ..., $A_n$, ...) é uma progressão aritmética de termos positivos com razão r não nula. Se o somatório S é dado por $$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}}}}}$$ então S é representado por A) $\dfrac{n^2}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$ B) $\dfrac{n}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$ C) $\dfrac{n-1}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$ D) $\dfrac{n+1}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$ Solução : Primeiro devemos lembrar que $A_1$, $A_2$, $A_3$, ..., $A_n$ formam uma P.A. (Progressão Aritmética) de razão $r$, então, temos: $$A_2=A_1+r, ..., A_{n+1}=A_n+r,$$ ou ainda, $$A_{n+1}=A_1+nr.$$ Segundo passo, é fazer uma racionalização de denominadores : $$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}}}=\frac{1\cdot (\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}})}{(\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}})(\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}})}=\frac{\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}}}{A_i-A_{i+1}}=\frac{\sqrt{A_{i+1}}-\sqrt{A_{i}}}{A_{i+1}-A_i}=\frac{\sqrt{A_{i+1}}-\sqrt{A_{i}}}{r}}.$$ Então, $

O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura. Se o topo da escada escorregar 4 m para baixo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada? (A) 4 m (B) 8 m (C) 9 m (D) 13 m (E) 15 m Solução : Inicialmente, temos um triângulo retângulo ABC com catetos medindo 7m e $h_0$ m, a hipotenusa (comprimento da escada) é constante, 25 m. $$7^2+h_{0}^2=25^2 \Rightarrow h_0=24.$$ Se o topo da escada escorregar 4 m, então a altura do novo triângulo ($\Delta A'B'C'$) retângulo será 20 m, enquanto que a distância do pé da escada à parede perpendicular do edifício será $(7+x)$m e a hipotenusa, 25 m. $$20^2+(7+x)^2=25^2 \Rightarrow (7+x)^2=225 \Rightarrow  7+x=15 \Rightarrow  x=8 \;m.$$ Logo, o deslocamento do pé da escada é de 8 m, opção B.

Na figura, os pontos C e F pertencem aos lados BD e AE do quadrilátero ABDE, respectivamente. Os ângulos B e E são retos e os segmentos AB, CD, DE e FA têm suas medidas indicadas na figura. Qual é a área do quadrilátero ACDF? A) 16 B) 21 C) 31 D) 33 E) 40   Solução : Tracemos um segmento de reta AD, dividindo o quadrilátero ACDF em dois triângulos, $\Delta ACD$ e $\Delta ADF$. Então a área do quadrilátero ACDF ($A_{ACDF}$) é a soma das áreas dos triângulos $\Delta ACD$ e $\Delta ADF$, ou seja, $A_{ACDF}=A_{\Delta ACD}+A_{\Delta ADF}$.  Fazendo a área do triângulo ABD menos a área do triângulo ABC, considerando a medida do BC igual a x, temos a área do triângulo ACD: $$A_{\Delta ACD}=\dfrac{10(x+2)}{2}-\dfrac{10x}{2}=10.$$ Analogamente, tomamos a medida EF igual a y. Calculamos a área do triângulo ADF, subtraímos a área do triângulo DEF do triângulo ADE. Assim, $$A_{\Delta ADE}=\dfrac{7(y+6)}{2}-\dfrac{7y}{2}=21.$$ Portanto a área do quadrilátero ACDF é 31,

O proprietário de uma residência instalou, em uma das portas da casa, um alarme formado por dois sensores localizados nos pontos A e B, conforme mostra a figura abaixo.  Percebeu-se que o alarme dispara quando a porta aberta forma um ângulo de 30 graus com o batente. Supondo que a porta tem 2 metros de altura e 1 metro de largura, qual a distância entre os sensores que faz o alarme disparar? Retirado de  http://clubes.obmep.org.br/blog/2016/04/uma-porta-para-a-trigonometria/ SOLUÇÃO: Note que a largura da porta é igual à distância entre os batentes, 1 m. Assim, podemos unir com um segmento de reta o ponto A à extremidade superior da porta (X), formando um triângulo isósceles (dois lados, consequentemente, dois ângulos iguais).  Visto que a soma dos Ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°, então, determinamos os ângulos da base ($\theta$) que são iguais: $$30°+\theta + \theta = 180° \Rightarrow 2\theta = 150° \rightarrow \theta = 75°\Rightarrow \